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深探法•深度优先搜索depth first search DFS 判断从v0到vi

发布时间:2019-06-27 08:07 来源:未知 编辑:admin

  深探法•深度优先搜索depth first search DFS 判断从v0到vi是否存在道路 令vkv0 vi且v有直接后继则令vk v并返回 vi且v没有直接后继则返回 回溯–可通过把经过的结点压入堆栈 来记住回溯点 –可通过做记号 避免重复搜索同一个结点 Lu Chaojun SJTU 11哥

  深探法•深度优先搜索depth first search DFS 判断从v0到vi是否存在道路 令vkv0 vi且v有直接后继则令vk v并返回 vi且v没有直接后继则返回 回溯–可通过把经过的结点压入堆栈 来记住回溯点 –可通过做记号 避免重复搜索同一个结点 Lu Chaojun SJTU 11哥尼斯堡七桥问题•1736年 Euler发表论文“哥尼斯堡的七座桥” 解决了下图中是否存在经过每条边一次且仅一次的回路的问题 12Lu Chaojun SJTU 欧拉道路与回路•定义 无向连通图G 中包含所有边的简单回路道路 称为G的欧拉回路 道路 •定理 无向连通图GGGG中存在欧拉回路的充要条件是GGGG中各结点的度都是偶数 对任一v 回路沿ei进入v必然有ej从v出来 从任一v0出发必能构造一简单回路C 否则终点不是偶数度 对G′的各连通支继续此过程最后合并所有回路即所求 七桥问题无欧拉回路13Lu Chaojun SJTU 欧拉道路与回路 连接这两顶点则有回路 再删去这条边 •推论2 若有向连通图G中各结点的正负度相等 则G中存在有向欧拉回路 Lu Chaojun SJTU 14周游世界游戏•1857年 William Rowan Hamilton发明了Icosian游戏 游戏目标是沿着一个十二面体 12个正五边形的面 20个顶点 30条棱 的棱边找到一条不重复地遍历各顶点的回路 Lu Chaojun SJTU 15哈密顿回路与道路•定义 无向图G的一条经过全部结点的初级回路 道路 称为G的哈密顿回路 道路 –简记为H回路 道路 •对H回路问题–要求V 3–只需考虑简单图因为重边和自环不起作用•H回路的判定很困难 没有发现充分必要的条件 只有若干充分条件 Lu Chaojun SJTU 16H道路的判定•定理 若简单图GGGG的任意两结点vvvviiii与vvvvjjjj之间恒有 vvvviiiidddd vvvvjjjj nnnn 1111则GGGG中存在HHHH道路 证明思路 由定理条件G是连通图 令P是G中最长初级道路则P是H道路 若不是 由定理条件必有经过P中结点的初级回路C ii 由连通性 C必可与C外某相邻结点构成比P更长的初级道路 Lu Chaojun SJTU 17H回路的判定•定理 Ore 1960 Ore 1960 Ore 1960 Ore 1960 若简单图G 的任一对不相邻结点vi与vj都满足dvi 1条件更宽且漏了n 3的条件 •定理 DiracDiracDiracDirac 1952 1952 1952 1952 若简单图G 则G有H回路–书上推论2 2漏了n3的条件 Lu Chaojun SJTU 18H回路的判定 •引理简单图G若有不相邻结点vi vj满足d vi 则G有H回路iff vivj 有H回路 –对G不断加入这样的边 vi vj 直至不再有满足条件的结点对 最终得到的图称为G的闭合图 记作C •引理简单图G的闭合图是唯一的 •定理 BondyBondyBondyBondy ChvChvChvChvtaltaltaltal 1976 1976 1976 1976 简单图GGGG有HHHH回路 iffiffiffiff GGGG有HHHH回路 •推论 Kn则G有H回路 –Ore定理和Dirac定理显然是这个推论的直接推论 Lu Chaojun SJTU 19旅行商问题•实际问题中往往涉及赋权图 •TSP traveling salesman problem 给定一正权完全图 求总权值最小的H回路 经过德国15个大城市的一个TSP行程这是43 589 145 600个可能行程中最短的一个 Lu Chaojun SJTU 20

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